Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（0≤x≤1），其中a＞0，b為任意常數(shù)．
（Ⅰ）若b=$\frac{1}{2}$，f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|在x∈[0，1]有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)b=2，|f（1）|≤2時(shí)，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，去掉絕對(duì)值，關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出|f（x）|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）b=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=3ax²-（2a+1）x+$\frac{1}{2}$，
而$f（\frac{1}{2}）=-\frac{a}{4}＜0$，
①當(dāng)$0≤x＜\frac{1}{2}$時(shí)，則$3a{x^2}-（2a+1）x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-x$，
即3ax²-2ax=0，解得x=0，
②當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤1$時(shí)，則$3a{x^2}-（2a+1）x+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}$，
即3ax²-2（a+1）x+1=0，
令t（x）=3ax²-2（a+1）x+1，
因?yàn)?t（\frac{1}{2}）=-\frac{a}{4}＜0$，只要t（1）=a-1≥0即可，
所以a≥1；
（Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，f（x）=3ax²-2（a+2）x+2，f（0）=2，f（1）=a-2
設(shè)|f（x）|的最大值為M，由|f（1）|≤2及a＞0得0＜a≤4，
于是f（x）的對(duì)稱軸$x=\frac{a+2}{3a}=\frac{1}{3}（1+\frac{2}{a}）∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$
（1）當(dāng)$\frac{2+a}{3a}≥1$，即0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]是減函數(shù)，
M=max{|f（0）|，|f（1）|}=2；
（2）當(dāng)$\frac{1}{2}≤\frac{2+a}{3a}＜1$，即1＜a≤4時(shí)，
$|{f（\frac{a+2}{3a}）}|=|{\frac{{{{（a+2）}^2}}}{3a}-2\frac{{{{（a+2）}^2}}}{3a}+2}|=|{2-\frac{{{{（a+2）}^2}}}{3a}}|=|{\frac{{{a^2}-2a+4}}{3a}}|$
=$\frac{{{a^2}-2a+4}}{3a}=\frac{1}{3}（a+\frac{4}{a}-2）≤1＜2$，
所以$M=max\left\{{|{f（0）}|，|{f（1）}|，|{f（\frac{a+2}{3a}）}|}\right\}=2$，
綜上所述，|f（x）|的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道綜合題．