Question

【題目】如圖，三棱柱中，四邊形是菱形，,二面角為， .

（Ⅰ）求證：平面平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先由三棱柱性質(zhì)將線面垂直轉(zhuǎn)化為，再由得線線垂直，又由是菱形得,最后根據(jù)線面垂直判定定理得線面垂直, 根據(jù)面面垂直判定定理得平面平面.（2）求二面角的大小，一般借助空間向量數(shù)量積求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系求二面角.

試題解析：（1）證明：在三棱柱中，由

得，則，

又是菱形, 得,而,

則,

故平面平面.

（2）

由題意得為正三角形，

取得中點(diǎn)為D，連CD,BD,

則,又

易得,則為二面角的平面角，

因, =,所以,

所以

過交點(diǎn)作,垂足為,連

則為二面角的平面角，

又 得

所以

另：建系用向量法相應(yīng)給分。