Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在實(shí)數(shù)x₀，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，則ω的最小值為$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件f（x₀）≤f（x）≤f（x₁+2016π）成立得到函數(shù)的最大值和最小值，結(jié)合三角函數(shù)的周期的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在實(shí)數(shù)x₀，
使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，
則f（x₀）為函數(shù)的最小值，f（x₀+2016π）為函數(shù)的最大值，
則x₀+2016π-x₀ =n•$\frac{T}{2}$=2016π，∵T=$\frac{2π}{ω}$，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=2016π，
即ω=$\frac{2nπ}{2016π}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2016}$，∵n∈N^•，∴當(dāng)n=1時(shí)，ω=$\frac{1}{2016}$為最小值，
故答案為：$\frac{1}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的周期公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．