Question

10．已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=$\sqrt{2}$|PB|．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線C的方程；
（Ⅱ）求拋物線y²=x上的點(diǎn)到曲線C的對(duì)稱中心的最短距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=$\sqrt{2}$|PB|，化簡(jiǎn)整理得答案．
（Ⅱ）設(shè)拋物線y²=x上的點(diǎn)Q（m，n），則n²=m．|QC|=$\sqrt{（m-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（m-3）^{2}+m}$=$\sqrt{（m-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=$\sqrt{2}$|PB|，
∴平方得（x+1）²+y²=2[（x-1）²+y²]，
整理得（x-3）²+y²=8．
（Ⅱ）設(shè)拋物線y²=x上的點(diǎn)Q（m，n），則n²=m．
|QC|=$\sqrt{（m-3）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（m-3）^{2}+m}$=$\sqrt{（m-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$，
∴m=$\frac{5}{2}$時(shí)，P到曲線C的對(duì)稱中心的最短距離為$\frac{\sqrt{11}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法，著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．