Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，過右焦點(diǎn)F的直線與兩條漸近線分別交于點(diǎn)A、B且與其中一條漸近線垂直，若△OAB的面積為$\frac{8}{3}$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的焦距為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為b，即有|OB|=a，△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$a•atanθ，結(jié)合條件可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式即可計(jì)算得到．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，a²+b²=c²，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，則tanθ=tan∠AOB=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
設(shè)FB⊥OB，則F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=b，
即有|OB|=a，
則△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，即2c=2$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和離心率公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．