Question

8．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$，則x²+y²-2x的取值范圍是[-$\frac{1}{5}$，24]．

Answer 1

分析 畫出可行域，通過目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可．

解答 解：先根據(jù)約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$，畫出可行域，
z=x²+y²-2x，
表示可行域內(nèi)點到點P（1，0）距離的平方再減去1，
點P到直線2x+y-4=0的距離是點P到區(qū)域內(nèi)的最小值，
d=$\frac{|2-4|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴z=x²+y²-2x的最小值為-$\frac{1}{5}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=8}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$，可得A（3，4）
點P到點A的距離是點P到區(qū)域內(nèi)的最大值，此時d=5
∴z=x²+y²-2x的最大值為 24；
故答案為：[-$\frac{1}{5}$，24]．

點評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．