Question

5．某地政府為提升城市形象，在該地區(qū)邊長為1的正方形ABCD的空地建文化廣場，在正方形ABCD的內(nèi)部規(guī)劃一塊△CPQ區(qū)域種植花草，并滿足P，Q分別為邊AB，DA上的動點，且∠PCQ=$\frac{π}{3}$，問∠PCB多大時才能使△CPQ面積的最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 設(shè)∠PCB=θ，則∠DCQ=$\frac{π}{6}-θ$，于是PC=$\frac{1}{cosθ}$，CQ=$\frac{1}{cos（\frac{π}{6}-θ）}$，則S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ•sin$\frac{π}{3}$，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡得到S_△PCQ關(guān)于θ的三角函數(shù)，根據(jù)θ的范圍得出S_△PCQ的最小值．

解答 解：設(shè)∠PCB=θ，則∠DCQ=$\frac{π}{2}-\frac{π}{3}-θ$=$\frac{π}{6}-θ$，
∵BC=CD=1，$∠B=∠D=\frac{π}{2}$，∴PC=$\frac{1}{cosθ}$，QC=$\frac{1}{cos（\frac{π}{6}-θ）}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ}$．
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}PC×CQ×sin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{cosθ}×\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}cos2θ+sin2θ+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（2θ+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}}$．
∵0＜$θ＜\frac{π}{6}$，∴$\frac{π}{3}＜$2$θ+\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$．
∴當2$θ+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即θ=$\frac{π}{12}$時，S_△PCQ取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}-3$．
∴當∠PCB=$\frac{π}{12}$時，△CPQ面積的最小，最小面積為2$\sqrt{3}-3$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角形的面積公式，屬于中檔題．