Question

已知一條直線l過定點(diǎn)M（2，1），且與x，y軸的正半軸分別相交于A，B（O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）．
（1）當(dāng)三角形△ABO的面積為

9

2

時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)三角形△ABO的面積最小時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：由題意設(shè)出直線l的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，把截距用斜率表示，再由與x，y軸的正半軸分別相交求得斜率的范圍，代入三角形的面積公式化簡．
（1）由面積等于

9

2

求出直線的斜率，則直線方程可求；
（2）把面積函數(shù)變形，利用基本不等式求最值，并求得面積取最小值時(shí)的斜率，則直線方程可求．

解答： 解：設(shè)直線方程y=ax+b，
根據(jù)M（2，1）在直線上，1=2a+b，則b=1-2a，
∴y=ax+1-2a，
與x軸、y軸的正半軸相交，
取x=0，得y=1-2a＞0，a＜

1

2

；
取y=0，得x=

2a-1

a

＞0，a＞0時(shí)，a＞

1

2

；a＜0時(shí)，a＜

1

2

，
綜上：a＜0．
S△AOB=

1

2

(1-2a)•

2a-1

a

=-

1

2

(2a-1)2

a

=-

1

2

4a2-4a+1

a

=-

1

2

(4a+

1

a

-4)=-2a+

1

-2a

+2．
（1）當(dāng)三角形△ABO的面積為

9

2

時(shí)，由-2a+

1

-2a

+2=

9

2

，解得：a=-1或a=-

1

4

．
∴直線l的方程為：y=-x+3或y=-

1

4

x+

3

2

；
（2）S△AOB=-2a+

1

-2a

+2≥4．
當(dāng)且僅當(dāng)-2a=

1

-2a

，即a=-

2

2

時(shí)取等號．
∴三角形OAB面積的最小值為4，直線方程就是y=-

2

2

x+1+

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直線的斜截式方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．