Question

【題目】已知集合 ．對(duì)于，定義與之間的距離為．

（Ⅰ），寫出所有的；

（Ⅱ）任取固定的元素，計(jì)算集合中元素個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）設(shè)，中有個(gè)元素，記中所有不同元素間的距離的最小值為．證明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ) 元素個(gè)數(shù)為 (Ⅲ)見證明

【解析】

（Ⅰ）將n=2代入，即可求解。

（Ⅱ）分別令，求出的表達(dá)式，歸納，則可求元素個(gè)數(shù)。

（Ⅲ）表示出，結(jié)合定義，可得，即中任意兩元素不相等，可得中至多有個(gè)元素，即可得證。

（Ⅰ）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

寫出，特別的，．

所以元素個(gè)數(shù)為

（Ⅲ）記，

我們證明．一方面顯然有．另一方面，且，

假設(shè)他們滿足．則由定義有，

與中不同元素間距離至少為相矛盾．

從而．

這表明中任意兩元素不相等．從而．

又中元素有個(gè)分量，至多有個(gè)元素．

從而．