Question

3．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\sqrt{x}$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，
（1）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求g（x）的解析式，并證明g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，結(jié)合已知與函數(shù)是奇函數(shù)可得x＜0時(shí)的解析式，則答案可求；
（2）由已知結(jié)合（1）寫出分段函數(shù)解析式，然后利用奇偶性的定義證明g（x）的奇偶性．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
此時(shí)有f（-x）=$\sqrt{-x}$．
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}$．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=-\sqrt{-x}$．
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{-\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}}\right.$；
（2）函數(shù)g（x）解析式為g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{\sqrt{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
g（x）的定義是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，$g（-x）=\sqrt{-（-x）}=\sqrt{x}=g（x）$，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，$g（-x）=\sqrt{-x}=g（x）$，
綜上所述，函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查函數(shù)奇偶性的判斷方法，是中檔題．