Question

10．已知f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （　�。┣蟪龊瘮�(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，根據(jù)f（x）的最小值，證明結(jié)論即可．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=lnx+1．…（1分）
當(dāng)$x＞\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)
所以函數(shù)f（x）的最小值為$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．…（5分）
（Ⅱ）問題等價(jià)于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$…（6分）
由（I）可知，f（x）=xlnx的最小值為$-\frac{1}{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{e}$時(shí)取到．…（8分）
令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），則${g^′}（x）=\frac{1-x}{e^x}$，…（9分）
易知$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取到，所以$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．
從而對(duì)一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．