Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）試作出平面PAB與平面PCD的交線EP（不需要說(shuō)明畫(huà)法和理由）；
（Ⅱ）求證：直線EP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長(zhǎng)BA，CD，交于點(diǎn)E，由此作出平面PAB與平面PCD的交線EP．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明直線EP⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）延長(zhǎng)BA，CD，交于點(diǎn)E，連結(jié)EP，
由此作出平面PAB與平面PCD的交線EP．
證明：（Ⅱ）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
AB⊥AD，AD∥BC，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1，
∴以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
E（0，-2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0），
$\overrightarrow{EP}$=（0，2，2），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），
$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{PB}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{PC}$=0+4-4=0，
∴EP⊥PC，EP⊥PB，
又PC∩PB=P，∴直線EP⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
D（1，0，0），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-2），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}=2b-2c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=a-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，1），
設(shè)二面角C-PB-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PB-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩平面交線的作法，考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．