Question

如圖1，∠ACB=45°，BC=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）

（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，△BCD的體積最大；
（2）當(dāng)△BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為棱AC的中點(diǎn)，試求直線BM與CD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A-BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可；
（2）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD=

4

3

，AD=CD=

8

3

，確定

BM

=（-

4

3

，

4

3

，

4

3

），

DC

=（0，

8

3

，0），利用向量的夾角公式，即可求直線BM與CD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）設(shè)BD=x，則CD=4-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=4-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=

1

3

×AD×S_△BCD=

1

3

×（4-x）×

1

2

×x（4-x）=

1

6

（x³-8x²+16x）
設(shè)f（x）=

1

6

（x³-8x²+16x），x∈（0，4），
∵f′（x）=

1

6

（x-4）（3x-4），∴f（x）在（0，

4

3

）上為增函數(shù)，在（

4

3

，4）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x=

4

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值
∴當(dāng)BD=

4

3

時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大；
（2））∵∠BDC=90°，∴DB，DC，DA兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD=

4

3

，AD=CD=

8

3

∴D（0，0，0），B（

4

3

，0，0），C（0，

8

3

，0），M（0，

4

3

，

4

3

），
設(shè)直線BM與CD所成角為θ，則

BM

=（-

4

3

，

4

3

，

4

3

），

DC

=（0，

8

3

，0），
∴cosθ=

32 9

4 3 3 • 8 3

=

3

3

∴直線BM與CD所成角的正弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問(wèn)題中的不變量，空間線面角的計(jì)算方法，空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題．