【題目】已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,﹣sin ),函數(shù)f(x)= ﹣m| + |+1,x∈[﹣ , ],m∈R.
(1)當(dāng)m=0時(shí),求f( )的值;
(2)若f(x)的最小值為﹣1,求實(shí)數(shù)m的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)+ m2 , x∈[﹣ , ]有四個(gè)不同的零點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解: =(cos ,sin )(cos ,﹣sin )=cos cos ﹣sin sin =cos( + )=cos2x,

當(dāng)m=0時(shí),f(x)= +1=cos2x+1,

則f( )=cos(2× )+1=cos +1=


(2)解:∵x∈[﹣ ],

∴| + |= = =2cosx,

則f(x)= ﹣m| + |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx,

令t=cosx,則 ≤t≤1,

則y=2t2﹣2mt,對(duì)稱軸t= ,

① 當(dāng) ,即m<1時(shí),

當(dāng)t= 時(shí),函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值y= ﹣m=﹣1,得m= (舍),

②當(dāng) ≤1,即m<1時(shí),

當(dāng)t= 時(shí),函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值y=﹣ =﹣1,得m= ,

③當(dāng) >1,即m>2時(shí),

當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)取得最小值此時(shí)最小值y=2﹣2m=﹣1,得m= (舍),

綜上若f(x)的最小值為﹣1,則實(shí)數(shù)m=


(3)解:令g(x)=2cos2x﹣2mcosx+ m2=0,得cosx= ,

∴方程cosx= 在x∈[﹣ ]上有四個(gè)不同的實(shí)根,

,得 ,則 ≤m< ,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ≤m<


【解析】(1)利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)f(x)即可.(2)求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可.(3)由g(x)=0得到方程的根,利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】蘭州一中在世界讀書日期間開展了書香校園系列讀書教育活動(dòng)。為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,且將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為讀書迷,低于60分鐘的學(xué)生稱為非讀書迷。

非讀書迷

讀書迷

合計(jì)

15

45

(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)?

2利用分層抽樣從這100名學(xué)生的讀書迷”中抽取8名進(jìn)行集訓(xùn),從中選派2名參加蘭州市讀書知識(shí)比賽,求至少有一名男生參加比賽的概率。

附:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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(Ⅱ)過點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓, 兩點(diǎn),求的面積的最大值.

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(2)設(shè)的面積分別為,求的最大值.

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