Question

7．關(guān)于x的方程2ax=x²-2alnx有唯一解，則正實數(shù)a的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-2alnx-2ax，將方程有唯一解，轉(zhuǎn)化為g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．

解答 解：∵a＞0，∴由2ax=x²-2alnx得x²-2alnx-2ax，（x＞0），
設(shè)g（x）=x²-2alnx-2ax，（x＞0），
若方程x²-2alnx-2ax=0有唯一解，
即g（x）=0有唯一解，
則g′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$-2a=$\frac{2（{x}^{2}-ax-a）}{x}$，
令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x₁=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（另一根舍去），
當(dāng)x∈（0，x₁）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x=x₂時，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），
∵g（x）=0有唯一解，
∴g（x₁）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{1}）=0}\\{g′（{x}_{1}）=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}-2aln{x}_{1}-2a{x}_{1}=0}\\{{{x}_{1}}^{2}-a{x}_{1}-a=0}\end{array}\right.$，
∴2alnx₁+ax₁-a=0
∵a＞0，
∴2lnx₁+x₁-1=0，
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵x＞0時，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解為x₁=1，
即x₁=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$=1，
∴$a=\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解時a的值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．