Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，∠ACB=90°，D是AA₁的中點．
（1）求證：C₁D⊥面A₁ABB₁；
（2）求二面角D-C₁B-C的大小的余弦值；
（3）求直線AC與平面BDC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得C₁D⊥A₁B₁，C₁D⊥AA₁，由此能證明C₁D⊥面A₁ABB₁．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-C₁B-C的余弦值．
（3）利用向量法能求出直線AC與平面BDC₁所成角的余弦值．

解答： （1）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，D是AA₁的中點，
∴C₁D⊥A₁B₁，C₁D⊥AA₁，
∵A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴C₁D⊥面A₁ABB₁．
（2）解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得A₁（2，0，2），B（0，2，0），B₁（0，2，2），
D（1，1，2），C₁（0，0，2），

BD

=（1，-1，2），

BC1

=（0，-2，2），
設(shè)平面BDC₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BD =x-y+2z=0 n • BC1 =-2y+2z=0

，取y=1，得

n

=（-1，1，1），
由題意平面BCC₁的法向量

m

=（1，0，0），
設(shè)二面角D-C₁B-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

3

|=

3

3

，
∴二面角D-C₁B-C的余弦值為

3

3

．
（3）解：

CA

=（2，0，0），平面BDC₁的法向量

n

=（-1，1，1），
設(shè)直線AC與平面BDC₁所成角為α，
sinα=|cos＜

CA

，

n

＞|=|

-2

2 3

|=

3

3

，
∴cosα=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴直線AC與平面BDC₁所成角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查C₁D⊥面A₁ABB₁的證明，考查二面角D-C₁B-C的余弦值的求法，考查直線AC與平面BDC₁所成角的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．