Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）在二次函數(shù)f（x）=x²的圖象上．
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，且n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n；
（2）使用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)（n，S_n）在二次函數(shù)f（x）=x²的圖象上，所以${S_n}={n^2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}$=2n-1，
經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)，上式成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（1）${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，①
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+2（{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}}）$$-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法數(shù)列求和，應(yīng)熟記各種求和方法適用的條件和步驟，屬于中檔題．