在平面直角坐標系中,已知動點M(x,y),點A(0,1),B(0,-1),D(1,0),點N與點M關(guān)于直線y=x對稱,且
AN
BN
=
1
2
x2
.直線l是過點D的任意一條直線.
(1)求動點M所在曲線C的軌跡方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于G、H兩點,且|GH|=
3
2
2
,求直線l的方程;
(3)(理科)若直線l與曲線C交于G、H兩點,與線段AB交于點P(點P不同于點O、A、B),直線GB與直線HA交于點Q,求證:
OP
OQ
是定值.
(文科) 設(shè)直線l與曲線C交于G、H兩點,求以|GH|的長為直徑且經(jīng)過坐標原點O的圓的方程.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由點N與點M關(guān)于直線y=x對稱,可得N(y,x).利用數(shù)量積運算
AN
BN
=
1
2
x2
,即可得出;
(2)假設(shè)l⊥x軸,則直線與l的交點為(1,±
2
2
),直接驗證即可;可設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為:y=k(x-1),G(x1,y1),H(x2,y2).與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出.
(3)(理科)由直線l的方程:y=k(x-1),令x=0,可得P(0,-k).直線AH的方程為y=
y2-1
x2
x+1
,直線GB的方程為:y=
y1+1
x1
x-1
.聯(lián)立解得Q(
2x1x2
k(x1-x2)+(x1+x2)
,
2kx1x2-k(x1+x2)+x2-x1
k(x1-x2)+(x1+x2)
)
.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:
OP
OQ
=1為定值.
(3)(文科)若以|GH|的長為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O,利用數(shù)量積運算
OG
OH
=0解出k.圓心的橫坐標=
x1+x2
2
=
2
3
,縱坐標=±
1
3
,可得圓心(
2
3
,±
1
3
)
.半徑r2=(
2
3
)2+(-
1
3
)2
=
5
9
.即可得出.
解答: 解:(1)∵點N與點M關(guān)于直線y=x對稱,∴N(y,x).
AN
BN
=
1
2
x2
,∴(y,x-1)•(y,x+1)=
1
2
x2

y2+x2-1=
1
2
x2
,化為
x2
2
+y2=1

∴動點M所在曲線C的軌跡方程為
x2
2
+y2=1

(2)假設(shè)l⊥x軸,則直線與l的交點為(1,±
2
2
),此時|GH|=
2
,不滿足要求,舍去;
可設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為:y=k(x-1),G(x1,y1),H(x2,y2).
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2+2y2=2
,化為(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=
4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2

∴|GH|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2
2
(1+k2)
1+2k2
=
3
2
2
,
解得k=±
2
2

∴直線l的方程為y=±
2
2
(x-1)

(3)(理科)證明:由直線l的方程:y=k(x-1),令x=0,解得y=-k,∴P(0,-k).
直線AH的方程為:y=
y2-1
x2
x+1
,
直線GB的方程為:y=
y1+1
x1
x-1

聯(lián)立
y=
y2-1
x2
x+1
y=
y1+1
x1
x-1
,解得Q(
2x1x2
k(x1-x2)+(x1+x2)
,
2kx1x2-k(x1+x2)+x2-x1
k(x1-x2)+(x1+x2)
)

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:
OP
OQ
=
-k[
4k(k2-1)
1+2k2
-
4k3
1+2k2
+(x2-x1)]
k(x1-x2)+
4k2
1+2k2
=1為定值.
(文科)解:若以|GH|的長為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O,
OG
OH
=0,∴x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=0,
由(2)可得
(1+k2)(2k2-2)
1+2k2
-
4k4
1+2k2
+k2=0,
化為k2=1,解得k=±1.
∴直線l的方程為:y=±(x-1).
∴圓心的橫坐標=
x1+x2
2
=
2
3
,縱坐標=±
1
3
,可得圓心(
2
3
,±
1
3
)

半徑r2=(
2
3
)2+(-
1
3
)2
=
5
9

∴圓的方程為:(x-
2
3
)2+(y±
1
3
)2=
5
9
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、直線的交點、圓的方程,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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已知f(x)=
x2-2,x≥1
f(x+1),0≤x<1
1
x
,x<0
,若f(a)=
1
4
,則a=(  )
A、
3
2
B、
3
2
或 4
C、±
3
2
或 4
D、
1
2
3
2

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x2+1,(0<x≤1)
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5
4
,則m的值為(  )
A、log2
5
4
B、
1
2
C、-
1
2
D、±
1
2

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π
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3
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1
2
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1
2013
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3
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A、2-log23
B、log32
C、1
D、log23

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