正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2
3
,將它沿高AD翻折,使二面角B-AD-C的大小為
π
3
,則四面體ABCD的外接球的體積為
 
考點(diǎn):球的體積和表面積
專題:計(jì)算題,空間角,球
分析:三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA,底面是正三角形,它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離,就是球的半徑,然后求球的體積即可.
解答: 解:根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA,
則∠BDC即為二面角B-AD-C的平面角,且為
π
3
,
則底面BCD是正三角形,
它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球,
求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離,就是球的半徑,
而且AD=
3
2
×2
3
=3,
正三棱柱ABC-A1B1C1的中,底面邊長(zhǎng)為
3

由題意可得:三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn),到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等,說明中心就是外接球的球心,
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心為O,外接球的半徑為r,
球心到底面的距離為
3
2
,
底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為:
2
3
×
3
2
×
3
=1,
∴球的半徑為r=
(
3
2
)2+1
=
13
2

四面體ABCD外接球體積為:
r3
3
=
3
×(
13
2
3=
13
13
π
6

故答案為:
13
13
π
6
點(diǎn)評(píng):本題考查空間想象能力,計(jì)算能力;三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn),到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等,說明中心就是外接球的球心,是本題解題的關(guān)鍵,仔細(xì)觀察和分析題意,是解好數(shù)學(xué)題目的前提.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a+x2=2012,b+x2=2013,c+x2=2015且abc=8.求 
a
bc
+
b
ac
+
c
ab
-
1
a
-
1
b
-
1
c
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)向量
a
=(cos25°,sin25°),
b
=(cos20°,sin20°),若
c
=
a
+t
b
(t∈R)
,則|
c
|的最小值為(  )
A、
2
B、1
C、
2
2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y),點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),D(1,0),點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且
AN
BN
=
1
2
x2
.直線l是過點(diǎn)D的任意一條直線.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M所在曲線C的軌跡方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于G、H兩點(diǎn),且|GH|=
3
2
2
,求直線l的方程;
(3)(理科)若直線l與曲線C交于G、H兩點(diǎn),與線段AB交于點(diǎn)P(點(diǎn)P不同于點(diǎn)O、A、B),直線GB與直線HA交于點(diǎn)Q,求證:
OP
OQ
是定值.
(文科) 設(shè)直線l與曲線C交于G、H兩點(diǎn),求以|GH|的長(zhǎng)為直徑且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=lgx設(shè)a=f(
6
5
),b=f(
3
2
),c=f(
5
2
),則(  )
A、a<b<c
B、b<a<c
C、c<b<a
D、c<a<b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)
100
k=1
(x+1)k=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a100x
 100
 
,則
a4
a5
=( 。
A、
2
49
B、
5
97
C、
1
16
D、
7
95

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

國(guó)家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績(jī)正在加緊備戰(zhàn),10環(huán)0.32,9環(huán)0.28,8環(huán)0.18,7環(huán)0.12,求該射擊員射擊一次,射中9環(huán)或10環(huán)的概率;至少命中8環(huán)的概率,命中不足8環(huán)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α+β=
3
,sinα+cosβ=
3
+1
4
,求sin(α-β)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=
x5
+
x7
+
x9
x

(2)y=2sin(3x-
π
6
);
(3)y=-sin
x
2
(1-2cos2
x
4
).

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同步練習(xí)冊(cè)答案