Question

8．給出下列命題：
①把函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，則cosα＞cosβ；
③x=-$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=cos（2x+$\frac{5}{4}$π）的一條對稱軸；
④函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）與函數(shù)y=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）相同；
⑤y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{π}{2}$]是增函數(shù)；
則正確命題的序號①③④．

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)，以及它的圖象的變換規(guī)律，正弦函數(shù)單調(diào)性、圖象的對稱性，得出結(jié)論．

解答 解：對于①，把函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$），故①正確．
對于②，當(dāng)α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，則此時有cosα=cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故②錯誤．
對于③，當(dāng)x=-$\frac{π}{8}$時，2x+$\frac{5}{4}$π=π，函數(shù)y=cos（2x+$\frac{5}{4}$π）=-1，為函數(shù)的最小值，故x=-$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=cos（2x+$\frac{5}{4}$π）的一條對稱軸，故③正確．
對于④，函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（$\frac{π}{6}$-2）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）與函數(shù)y=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）相同，故④正確．
對于⑤，在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上沒有單調(diào)性，故⑤錯誤，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)，以及它的圖象的變換規(guī)律，正弦函數(shù)單調(diào)性、圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．