Question

7．向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（-cosx，$\sqrt{3}$cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）．
（1）求使不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$成立的x的取值范圍；
（2）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（$\frac{B}{2}$）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)求得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由余弦函數(shù)圖象，即可求得f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集；
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1，代入f（x）的解析，求得B的值，根據(jù)余弦定理，即可求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）=$\frac{1}{2}$．$\overrightarrow{m}$²-$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
=$\frac{1}{2}$（cos²x+sin²x）+cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx），
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
f（x）≥$\frac{1}{2}$，即cos（2x+$\frac{π}{3}$）≥-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦函數(shù)圖象可知：2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
解得：x∈[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
使不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$成立的x的取值為：[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）f（$\frac{B}{2}$）=1，即：cos（B+$\frac{π}{3}$）+1=1，
∴cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，B是△ABC內(nèi)角的內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+3-2×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：a=1，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角恒等變換的應(yīng)用，突出考單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．