Question

9．在△ABC中，已知c=8，C=60°，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 由正弦定理用sinA、sinB表示出a、b，由內(nèi)角和定理求出A與B的關(guān)系式，代入a+b利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出a+b的取值范圍．

解答 解：∵c=8，C=60°，∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
則a=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sinB，
由A+B+C=π得A+B=$\frac{2π}{3}$，即B=$\frac{2π}{3}$-A，則0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴a+b=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-cos$\frac{2π}{3}$sinA）
=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=16$sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
則$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，
即$8＜16sin（A+\frac{π}{6}）≤16$，
∴a+b的取值范圍是（8，16]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的應(yīng)用，兩角和差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．