Question

17．已知命題p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根，命題q：$f（x）=lg[m{x^2}-（m+4）x+\frac{9}{2}]$的定義域為R，
試判斷p是q的什么條件，并說明理由．

Answer 1

分析 由命題p，得$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\end{array}\right.$；由命題q，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=[-（m+4）]^{2}-4m×\frac{9}{2}＜0}\end{array}\right.$．由此得到p是q的必要不充分條件．

解答 解：∵命題p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞2，
即p：m＞2，
∵命題q：$f（x）=lg[m{x^2}-（m+4）x+\frac{9}{2}]$的定義域為R，
∴$m{x}^{2}-（m+4）x+\frac{9}{2}$＞0的解集為R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=[-（m+4）]^{2}-4m×\frac{9}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得2＜m＜8，
即q：2＜m＜8，
p推不出q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分條件．

點評 本題考查充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、不充分不必要條件的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意一元二次方程、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．