Question

10．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=-1，數(shù)列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n（n=2，3，4，…），且b₁=b₃=1．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：b₂-b₁=a₂=-1，b₁=b₃=1，求得b₂=0，代入求得a₃=1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得d=2，a₁=a₂-d，即可求得a₁的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=-3+2（n-1）=2n-5，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=2n-5，采用“累加法”即可求得b_n=n²-4n+4，（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1也滿足，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n，（n≥2，n∈N*），
∴b₂-b₁=a₂=-1，
b₁=b₃=1，
∴b₂=0，
a₃=b₃-b₂=1，
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴d=a₃-a₂=1-（-1）=2，
∴a₁=a₂-d=-1-2=-3，
a₁的值-3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數(shù)列{a_n}是以-3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
a_n=-3+2（n-1）=2n-5，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=2n-5，
b_n-1-b_n-2=2（n-2）-5，
…
b₂-b₁=-1，
將上述等式相加整理得：b_n-b₁=$\frac{-1+（2n-5）}{2}$•（n-1）=n²-4n+3，
∴b_n=n²-4n+4，（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1也滿足，
∴b_n=n²-4n+4（n∈N*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，“累加法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．