Question

20．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點(diǎn)，則EF與平面PAB所成的角等于（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出EF與平面PAB所成的角．

解答 解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)EF與平面PAB所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{\frac{3}{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°．
∴EF與平面PAB所成的角等于45°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．