Question

20．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}（a≠0）．
（Ⅰ）若A=B，求出實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若命題p：x∈A，命題q：x∈B且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）集合相等，轉(zhuǎn)化為元素間的相等關(guān)系求解
（Ⅱ）p⇒q得A⊆B且A≠B，轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系求解．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，A=（-$\frac{1}{a}$，$\frac{4}{a}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}=2}\end{array}\right.$，
解得a=2，
當(dāng)a＜0時(shí)，A=[$\frac{4}{a}$，-$\frac{1}{a}$），顯然A≠B，
故A=B時(shí)，a=2，
（Ⅱ）命題p：x∈A，命題q：x∈B且p是q的充分不必要條件，
∴p⇒q⇒A?B，
∴0＜ax+1≤5，
∴-1＜ax≤4，
當(dāng)a＞0時(shí)，A=（-$\frac{1}{a}$，$\frac{4}{a}$]，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＞2，
當(dāng)a＜0時(shí)，A=[$\frac{4}{a}$，-$\frac{1}{a}$），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＜-8
綜上p是q的充分不必要條件，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-8）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了以及必要條件，充分條件及充要條件的判斷，其中根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程及不等式是解本題的關(guān)鍵．