Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線(xiàn)段DE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方形性質(zhì)得CD⊥AD，由線(xiàn)面垂直得AE⊥CD，由此能證明CD⊥平面ADE．
（2）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DE為y軸，過(guò)點(diǎn)D平行于EA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCF的法向量和平面BEF的法向量，由此能求出二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴CD⊥AD，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
（2）解：由CD⊥平面ADE，得CD⊥DF，
∴以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DE為y軸，
過(guò)點(diǎn)D平行于EA的直線(xiàn)為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意AD=

AE2+DE2

=

4+4

=2

2

，
C（2

2

，0，0），B（2

2

，2，2），
E（0，2，0），F(xiàn)（0，1，0），

FB

=（2

2

，1，2），

FC

=（2

2

，-1，0），

FE

=（0，1，0），
設(shè)平面BCF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • FB =2 2 x+y+2z=0 n • FC =2 2 x-y=0

，取x=

2

，得

n

=（

2

，4，-4），
設(shè)平面BEF的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • FB =2 2 a+b+2c=0 m • FE =b=0

，取a=

2

，得

m

=（

2

，0，-2），
設(shè)二面角C-BF-E的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

2+8

34 • 6

|=

5 51

51

，
∴二面角C-BF-E的平面角的余弦值為

5 51

51

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．