Question

1．已知拋物線${C_1}：{y^2}=8x$的焦點為F，P是拋物線C₁上位于第一象限內(nèi)的點，|PF|=4，P到雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;\;，\;\;b＞0}）$的一條漸近線的距離為2，則雙曲線C₂的離心率為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的性質(zhì)求出P的坐標，寫出雙曲線的局限性方程，推出a，b關(guān)系然后求解雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線${C_1}：{y^2}=8x$的焦點為F（2，0），P是拋物線C₁上位于第一象限內(nèi)的點，|PF|=4，P（2，4），
P（2，4）到雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;\;，\;\;b＞0}）$的一條漸近線bx-ay=0的距離為2，
可得：$\frac{|2b-4a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，可得：4b=3a，
即：16c²-16a²=9a²，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．