Question

16．若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（1-x），0≤x≤1\\ sinπx，1＜x≤2\end{array}$，則f（$\frac{15}{2}$）+f（$\frac{20}{3}$）=$\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性，化簡所求的表達式，求解函數(shù)值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（1-x），0≤x≤1\\ sinπx，1＜x≤2\end{array}$，
則f（$\frac{15}{2}$）+f（$\frac{20}{3}$）=f（16-$\frac{1}{2}$）+f（8-$\frac{4}{3}$）=f（-$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{4}{3}$）=-f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}）$-sin$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計算能力．