Question

15．空間幾何體ABCDEF如圖所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD為梯形，ADEF為正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G為CE的中點．
（Ⅰ）求證：BG∥面ADEF；
（Ⅱ）求證：CB⊥面BDE；
（Ⅲ）求三棱錐E-BDG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取ED中點H，連接HG、AH，推導出AHGB為平行四邊形，從而AH∥BG，由此能證明BG∥面ADEF．
（Ⅱ）推導出BD⊥BC，ED⊥AD，ED⊥BC，由此能證明BC⊥面BDE．
（Ⅲ）三棱錐E-BDG的體積V_E-BDG=V_E-BDC-V_G-BDC，由此能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）取ED中點H，連接HG、AH，
因為G、H分別為EC、ED的中點，所以HG∥CD且$HG=\frac{1}{2}DC$；-------------（2分）
因為AB∥CD且$AB=2=\frac{1}{2}CD$
所以AB∥HG，且AB=HG，-----------------------（3分）
所以AHGB為平行四邊形，所以AH∥BG；-----------------------（4分）
因為BG?面PBC，AH?面PBC，所以BG∥面ADEF；-----------------------（5分）
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，由題意得$BC=2\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，由題意得$BD=2\sqrt{2}$
所以△BDC中$BD=BC=2\sqrt{2}，CD=4$，由勾股定理可得BD⊥BC---------（7分）
由ADEF為正方形，可得ED⊥AD
由面ABCD⊥面ADEF，得ED⊥面ABCDBC?面ABCD，所以ED⊥BC----------------------（9分）
所以BC⊥面BDE-----------------------（10分）
（Ⅲ）因為DE⊥平面BDC，DE=2，G到到平面BDC的距離d=$\frac{1}{2}DE$=1，
S_△BDC=$\frac{1}{2}×CD×AD$=$\frac{1}{2}×4×2$=4，
所以三棱錐E-BDG的體積${V_{E-BDG}}={V_{E-BDC}}-{V_{G-BDC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×8×（2-1）=\frac{4}{3}$-----------------------（12分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．