Question

12．關(guān)于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，我們可用圖象法解答本題，即關(guān)于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}-kx+2k-3=0$有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象，分析圖象即可得到答案

解答 解：若關(guān)于x的方程$\sqrt{4-{x}^{2}}$-kx-3+2k=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)
∵函數(shù)y=kx+3-2k的圖象恒過(guò)（2，3）點(diǎn)
故在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象如下圖所示：

由圖可知
當(dāng)k=$\frac{5}{12}$時(shí)，直線與圓相切，
當(dāng)k=$\frac{3}{4}$時(shí)，直線過(guò)半圓的左端點(diǎn)（-2，0）
若函數(shù)y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的圖象與y=kx+3-2k的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$
故答案為：$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)的圖象，其中在確定無(wú)法解答的方程問(wèn)題時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合解答是最常用的方法．