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【題目】已知長度為的線段的兩個端點、分別在軸和軸上運動，動點滿足，設動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率不為零的直線與曲線交于兩點、，在軸上是否存在定點，使得直線與的斜率之積為常數.若存在，求出定點的坐標以及此常數；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設，，，由，可得由，所以代入即可求得橢圓方程；
（2）由題意設直線的方程為：，，，

將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得則

，因此存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數，使得與的斜率之積為常數．
試題解析：（1）設，，，

由于，所以 ，

即，所以，

又，所以，從而.

即曲線的方程為：.

（2）由題意設直線的方程為：，，，

由得：，

所以.

故 ，

，

假設存在定點，使得直線與的斜率之積為常數，則

.

當，且時，為常數，解得.

顯然當時，常數為；當時，常數為，

所以存在兩個定點，，使得直線與的斜率之積為常數，當定點為時，常數為；當定點為時，常數為.

練習冊系列答案
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【題目】已知等差數列{an}滿足a3＝2，前3項和為S3＝.

(1)求{an}的通項公式；

(2)設等比數列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n項和Tn.

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【題目】已知四邊形為矩形, ,為的中點,將沿折起,得到四棱錐,設的中點為,在翻折過程中,得到如下有三個命題:

①平面，且的長度為定值；

②三棱錐的最大體積為；

③在翻折過程中，存在某個位置，使得.

其中正確命題的序號為__________．（寫出所有正確結論的序號）

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【題目】某地發(fā)生地質災害，使當地的自來水受到了污染，某部門對水質檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質．已知每投放質量為m的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足，其中，當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化．

（1）如果投放的藥劑質量為m=4，試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（2）如果投放的藥劑質量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量m的最小值．

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【題目】某公司研發(fā)芯片耗費資金2千萬元，現(xiàn)在準備投入資金進行生產.經市場調查與預測，生產A芯片的毛收入（平萬元）與投入的資金x（千萬元）成正比，已知每投入1千萬元，獲得毛收入0.25千萬元；生產B芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數關系式為，其圖像如圖所示.

（1）試分別求出生產A，B兩種芯片的毛收入與投入資金的函數關系式.

（2）如果公司只生產一種芯片，生產哪種芯片毛收入更大？

（3）現(xiàn)在公司準備投入4億元資金同時生產A，B兩種芯片，設投入x千萬元生產B芯片，用表示公司所獲利潤，當x為多少時，可以獲得最大利潤？并求最大利潤.（利潤=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發(fā)耗費資金）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為，鳳眼蓮覆蓋面積 （單位：）與月份（單位：月）的關系有兩個函數模型與可供選擇.

（1）試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；

（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積倍以上的最小月份.

（參考數據，）

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【題目】已知函數.

（1）討論的導函數的零點個數；

（2）當時，證明： .

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【題目】在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”,較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.三國時期吳國數學家趙爽用“弦圖”( 如圖) 證明了勾股定理，證明方法敘述為:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實.”這里的“實”可以理解為面積.這個證明過程體現(xiàn)的是這樣一個等量關系:“兩條直角邊的乘積是兩個全等直角三角形的面積的和(朱實二 )，4個全等的直角三角形的面積的和(朱實四) 加上中間小正方形的面積(黃實) 等于大正方形的面積(弦實)”. 若弦圖中“弦實”為16，“朱實一”為,現(xiàn)隨機向弦圖內投入一粒黃豆(大小忽略不計)，則其落入小正方形內的概率為( )

A. B. C. D.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值.

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