Question

10．如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$，M是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求MC與平面EAC所成的角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，根據(jù)M為AB中點(diǎn)，得到AM=BM=CM，且CM垂直于AB，根據(jù)EA與面ABC垂直，得到EA與AC垂直，設(shè)AM=BM=CM=1，表示出EM，EC，利用勾股定理的逆定理判斷即可得證；
（2）過M作MN⊥AC，可得∠MCA為MC與平面EAC所成的角，求出即可．

解答 （1）證明：∵AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=CM，CM⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
設(shè)AM=BM=CM=1，則有AC=$\sqrt{2}$，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：EC=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理得：EM=$\sqrt{A{E}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EM²+MC²=EC²，
∴CM⊥EM；
（2）解：過M作MN⊥AC，可得∠MCA為MC與平面EAC所成的角，
則MC與平面EAC所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，勾股定理及逆定理，以及直線與平面的夾角，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．