Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若任取x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，滿足

f(x1)+f(x2)

2

=C，則稱C為函數(shù)y=f（x）在D上的均值，給出下列五個(gè)函數(shù)：①y=x；②y=x²；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2^x．則所有滿足在其定義域上的均值為2的函數(shù)的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)定義分別驗(yàn)證對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函數(shù)即可．

解答： 解：首先分析題目求對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函數(shù)．
①y=x，f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁+x₂=4，解得x₂=4-x₁，滿足唯一性，故成立．
②y=x²，由 f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁²+x₂²=4，此時(shí)x₂=±

4-x12

，x₂有兩個(gè)值，不滿足唯一性，故不滿足條件．
③y=4sinx，明顯不成立，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，存在無(wú)窮個(gè)的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不滿足條件
④y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
⑤y=2^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對(duì)于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理和判斷能力．綜合性較強(qiáng)．