Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，前n項和S_n滿足S_n=（2n²-n）a_n．
（1）寫出S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）歸納猜想{a_n}的前n項和公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得S₁，S₂，S₃，S₄．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當n=1時，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當n=k+1時，有S_k=$\frac{k}{2k+1}$，利用此假設(shè)證明當n=k+1時，結(jié)論也成立即可

解答 解：（1）S₁=a₁=$\frac{1}{3}$，
S₂=（2×4-2）（S₂-S₁），∴S₂=$\frac{2}{5}$，
S₃=（2×9-3）（S₃-S₂），∴S₃=$\frac{3}{7}$，
S₄=（2×16-4）（S₄-S₃），∴S₄=$\frac{4}{9}$
（2）由（1）的計算可猜想S_n=$\frac{n}{2n+1}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證
①當n=1時，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
則當n=k+1時，S_k+1=[2×（k+1）²-（k+1）]（S_k+1-S_k），
∴（2k²+3k）S_k+1=k（k+1），
∴S_k+1=$\frac{k+1}{2k+3}$=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
故當n=k+1時結(jié)論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，第（1）問要注意遞推公式的靈活運用，第（2）問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．