Question

14．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°，M為BB₁的中點(diǎn)，O_l為上底面對(duì)角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：O₁M⊥平面ACM；
（Ⅱ）求AD₁與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算AM，AO₁，MO₁，CM，CO₁，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AM⊥O₁M，CM⊥O₁M，于是O₁M⊥平面ACM；
（2）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連接OO₁，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{A{D}_{1}}$和平面ADM的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|即為所求．

解答 證明：（Ⅰ）連接AO₁，CO₁，
∵直四棱柱所有棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°，M為BB₁的中點(diǎn)，
∴O₁B₁=1，B₁M=BM=1，O₁A₁=$\sqrt{3}$，
∴O₁M²=O₁B₁²+B₁M²=2，AM²=AB²+BM²=5，O₁A²=O₁A₁²+A₁A²=7，
∴O₁M²+AM²=O₁A²，∴O₁M⊥AM．
同理：O₁M⊥CM，
又∵CM∩AM=M，AM?平面ACM，CM?平面ACM，
∴O₁M⊥平面ACM．
（Ⅱ）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連接OO₁，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），D₁（0，-1，2），M（0，1，1），
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，2，1），
設(shè)平面ADM的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x-y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$．令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AD1}$，$\overrightarrow{n}$=4$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=4，|$\overrightarrow{A{D}_{1}}$|=2$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{A{D}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2}×4}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴AD₁與平面ADM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．