Question

13．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及最小正周期．
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)圖象可得A，利用函數(shù)過點(diǎn)（0，1），可得1=2sinφ，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可求φ，又函數(shù)過點(diǎn)（$\frac{5π}{18}$，0），由五點(diǎn)作圖法可解得ω，利用周期公式可求函數(shù)的最小正周期，即可得解．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{3}$]，可求范圍3x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解所求值域．

解答 解：（Ⅰ）由函數(shù)圖象可得：A=2，
∵函數(shù)過點(diǎn)（0，1），
∴1=2sinφ，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
又∵函數(shù)過點(diǎn)（$\frac{5π}{18}$，0），可得：0=2sin（$\frac{5π}{18}$ω+$\frac{π}{6}$），
∴由五點(diǎn)作圖法可得：$\frac{5π}{18}$ω+$\frac{π}{6}$=π，解得：ω=3，
∴可得函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{3}$，函數(shù)f（x）的表達(dá)式為：y=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴3x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．，
∴sin（3x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得：y=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}$]的值域?yàn)椋篬-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題值域考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．