Question

5．已知f（x）=（x²-ax）e^x+1，x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系即可求出，
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-ax）e^x+1，
∴f′（x）=（2x-a）e^x+1+（x²-ax）e^x+1=e^x+1[x²-（a-2）x-a]，
∵△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，或x=$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，
當f′（x）＞0時，即x＜$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，或x＞$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$＜x＜$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$），或（$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，+∞）函數(shù)單調(diào)遞增，在（$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$）函數(shù)單調(diào)遞減，
（2）∵函數(shù)f（x）在（-1，1）單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，
∴x²-（a-2）x-a≤0，在（-1，1）上恒成立，
∴a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-1}{x+1}$=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$在（-1，1）上恒成立，
設g（x）=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
則g′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞恒成立
∴g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＜g（1）=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a≥$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關系，關鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．