Question

5．已知點(diǎn)F₁、F₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l與雙曲線C的左，右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF₂是以∠PQF₂為為直角的等腰直角三角形，e為雙曲線C的離心率，則e²=5+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|QF₂|=|PQ|=m，計(jì)算出|PF₂|=$\sqrt{2}$m，運(yùn)用雙曲線的定義，再利用勾股定理，即可建立a，c的關(guān)系，從而求出e²的值．

解答 解：設(shè)|QF₂|=|PQ|=m，
則|PF₂|=$\sqrt{2}$m，
由雙曲線的定義可得|QF₁|=m+2a，|PF₁|=$\sqrt{2}$m-2a，
∵|PQ|=|QF₁|-|PF₁|=m，
∴m+2a-（$\sqrt{2}$m-2a）=m，
∴4a=$\sqrt{2}$m，即m=2$\sqrt{2}$a，
∵△QF₁F₂為直角三角形，
∴|F₁F₂|²=|QF₁|²+|QF₂|²
∴4c²=（2+2$\sqrt{2}$）²a²+（2$\sqrt{2}$a）²，
∴4c²=（20+8$\sqrt{2}$）a²，
由e=$\frac{c}{a}$可得
e²=5+2$\sqrt{2}$．
故答案為：5+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)：離心率，考查雙曲線的定義，利用勾股定理求解，屬于中檔題．