Question

16．過圓O外一點(diǎn)P，作圓的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，M為弦AB上一點(diǎn)，過M作直線分別交PA、PB于點(diǎn)C、D．
（Ⅰ）若BD=2，AC=3，MC=4，求線段MD的長；
（Ⅱ）若MO⊥CD，求證：MD=MC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點(diǎn)C作CE∥PD交AB于點(diǎn)E，運(yùn)用兩直線平行的性質(zhì)定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)：切線長相等，即可求得MD；
（Ⅱ）連接OA、OB、OC、OD，運(yùn)用切線的性質(zhì)，證得四點(diǎn)A、C、M、O共圓，四點(diǎn)B、D、O、M共圓，可得同弧所對的圓周角相等，再由等腰三角形的三線合一，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）如圖1，
過點(diǎn)C作CE∥PD交AB于點(diǎn)E，
則∠PBA=∠CEA，
且△MCE∽△MDB，
所以$\frac{MC}{MD}=\frac{EC}{BD}$．
因?yàn)镻A、PB是圓的切線，
所以∠PAB=∠PBA，
所以∠PAB=∠CEA，
從而$AC=EC，\frac{MC}{MD}=\frac{AC}{BD}$，
得$MD=\frac{MC}{AC}•BD$=$\frac{4×2}{3}$=$\frac{8}{3}$；
證明：（Ⅱ）如圖2，連接OA、OB、OC、OD，
則OA⊥PA，OB⊥PB．
因?yàn)镸O⊥CD，所以∠OMD=∠OBD=∠OMC=∠OAC=90°，
故四點(diǎn)A、C、M、O共圓，四點(diǎn)B、D、O、M共圓，
所以∠OCM=∠OAM，∠ODM=∠OBM．
又OA=OB，
所以∠OAM=∠OBM，
故∠OCM=∠ODM，OC=OD．
從而MD=MC．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查四點(diǎn)共圓的判定和圓的切線的性質(zhì)及同弧所對圓周角相等，考查推理能力，屬于中檔題．