Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d≠0，且S₃=6，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}={2^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，利用前n項和公式求出a₁和d的值，再求通項公式a_n；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，得出{b_n}是等比數(shù)列，求出它的前n項和T_n．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴a₂²=a₁a₄，
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
化簡得d=a₁，d=0（舍去）；
∴S₃=3（a₁+d）=6a₁=6，解得a₁=d=1；
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，即a_n=n；
（2）∵b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，∴b₁=2，且$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，
∴{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴T_n=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等差和等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，以及前n項和公式和通項公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．