【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)左焦點(diǎn)F1(-2,0)作x軸的垂線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),PF2與y軸交于E,A,B是橢圓上位于PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率e和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),直線AB的斜率kAB是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)代入F1的橫坐標(biāo)即可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)為;利用E點(diǎn)坐標(biāo)以及OE為的中位線得到a與b的關(guān)系;再結(jié)合橢圓中a、b、c的關(guān)系即可解得a、b,進(jìn)而求得橢圓的離心率與標(biāo)準(zhǔn)方程。
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可求得P點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)出直線AP的方程,則直線BP的方程也可以表示出來(lái)了。聯(lián)立橢圓方程,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理與斜率的表達(dá)式即可求得斜率的定值。
(1)把x=-2代入橢圓方程得=1,解得y=±.取P,
由題可得OE為的中位線,
由可得,
即b2=3a,又a2=b2+4,聯(lián)立解得a=4,b2=12,
∴e=,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),直線AB的斜率kAB為定值-.
證明:由(1)得P(-2,3),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
不妨設(shè)直線PA的方程為y=k(x+2)+3,則直線PB的方程為y=-k(x+2)+3.
聯(lián)立整理得(3+4k2)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k-12=0,∴-2x1=,
解得x1=,y1=.
同理得x2=,y2=,
∴kAB==-,為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,OA是南北方向的一條公路,OB是北偏東45°方向的一條公路,某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線C.為方便游客光,擬過(guò)曲線C上的某點(diǎn)分別修建與公路OA,OB垂直的兩條道路PM,PN,且PM,PN的造價(jià)分別為5萬(wàn)元/百米,40萬(wàn)元/百米,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy,則曲線符合函數(shù)y=x+ (1≤x≤9)模型,設(shè)PM=x,修建兩條道路PM,PN的總造價(jià)為f(x)萬(wàn)元,題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米.
(1)求f(x)解析式;
(2)當(dāng)x為多少時(shí),總造價(jià)f(x)最低?并求出最低造價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg), 其頻率分布直方圖如下:
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計(jì)A的概率;
(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50 kg | 箱產(chǎn)量≥50 kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓x2+2y2=1,過(guò)原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D,記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.
(1)設(shè)A(x1 , y1),C(x2 , y2),用A、C的坐標(biāo)表示點(diǎn)C到直線l1的距離,并證明S=2|x1y2﹣x2y1|;
(2)設(shè)l1與l2的斜率之積為﹣ ,求面積S的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,不能證明AP⊥BC的條件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥P C
D.AP⊥平面PBC
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù),若對(duì)任意,總存在,使,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,且,E是棱CC1中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn).
(1)求證:CF//平面AEB1;
(2)求點(diǎn)B到平面AEB1的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某風(fēng)景區(qū)水面游覽中心計(jì)劃國(guó)慶節(jié)當(dāng)日投入之多3艘游船供游客觀光,過(guò)去10年的數(shù)據(jù)資料顯示每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X(單位:萬(wàn)人)都大于1,并把客流量分成三段整理得下表:
國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X | 1<X<3 | 3≤X≤5 | X>5 |
頻數(shù) | 2 | 4 | 4 |
以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的隔斷客流量的頻率作為每年客流量在隔斷發(fā)生的概率,且每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.
(1)求未來(lái)連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中,恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率;
(2)該水面游覽中心希望投入的游船盡可能使用,但每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日游船最多使用量:(單位:艘)受當(dāng)日客流量X(單位:萬(wàn)人)的限制,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:
國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X | 1<X<3 | 3≤X≤5 | X>5 |
游船最多使用量 | 1 | 2 | 3 |
若某艘游船國(guó)慶節(jié)當(dāng)日使用,則水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元,若某艘游船國(guó)慶節(jié)當(dāng)日不使用,則水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元,記Y(單位:萬(wàn)元)表示該水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日獲得總利潤(rùn),當(dāng)Y的數(shù)學(xué)期望最大時(shí)稱(chēng)水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳,問(wèn)該水面游覽中心的國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘游船才能使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為( )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 位置關(guān)系不確定
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