Question

【題目】某風(fēng)景區(qū)水面游覽中心計(jì)劃國(guó)慶節(jié)當(dāng)日投入之多3艘游船供游客觀光，過(guò)去10年的數(shù)據(jù)資料顯示每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X（單位：萬(wàn)人）都大于1，并把客流量分成三段整理得下表：

國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
頻數(shù)	2	4	4

以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的隔斷客流量的頻率作為每年客流量在隔斷發(fā)生的概率，且每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立．
（1）求未來(lái)連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中，恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率；
（2）該水面游覽中心希望投入的游船盡可能使用，但每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日游船最多使用量：（單位：艘）受當(dāng)日客流量X（單位：萬(wàn)人）的限制，其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表：

國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
游船最多使用量	1	2	3

若某艘游船國(guó)慶節(jié)當(dāng)日使用，則水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，若某艘游船國(guó)慶節(jié)當(dāng)日不使用，則水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元，記Y（單位：萬(wàn)元）表示該水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日獲得總利潤(rùn)，當(dāng)Y的數(shù)學(xué)期望最大時(shí)稱(chēng)水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳，問(wèn)該水面游覽中心的國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘游船才能使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳？

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閲?guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P1= = ，

∴未來(lái)連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中，恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為

P= （ ）×（ ）2=

（2）當(dāng)投入1艘游船時(shí)，因客流量總大于1，

所以E（Y）=3，

當(dāng)投入2艘游船時(shí)，若1＜X＜3，則Y=3﹣0.5= ，

此時(shí)P（Y= ）=P（1＜X＜3）= = ，

若X≥3，則Y=3×2=6，此時(shí)P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）= ，

故E（Y）= × +6× =

當(dāng)投入3艘游船時(shí)，若1＜X＜3，則Y=3﹣1=2，

若3≤X≤5，則Y=3×2﹣0.5= ，

若X＞5，則Y=3×3=9，

此時(shí)Y的分布列如下表：

Y	2		9
P

此時(shí)E（Y）=2× + × +9× = ，

由于 ＞ ＞3，

所以該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3艘游船可使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳．

【解析】（1）國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P1= = ，連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中，恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P= （ ）×（ ）2= ；（2）分別求得投入1艘游船時(shí)，投入2艘游船時(shí)，X的取值范圍，求得其數(shù)學(xué)期望，投入3艘游船時(shí)，若1＜X＜3，則Y=3﹣1=2，若3≤X≤5，則Y=3×2﹣0.5= ，若X＞5，則Y=3×3=9，求得其分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望E（Y），由于 ＞ ＞3，所以該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3艘游船可使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳．
【考點(diǎn)精析】利用離散型隨機(jī)變量及其分布列對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．