Question

2．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{5}$+y²=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，Q（3，0），且|PQ|=$\sqrt{2}$|PF|，則滿足條件的點(diǎn) P的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè) P（x，y），又F（2，0），由$|{{P}Q}|=\sqrt{2}|{{P}F}|$，得2（x-2）²+2y²=（x-3）²+y²，化簡(jiǎn)與橢圓方程聯(lián)立解出即可判斷出結(jié)論．

解答 解：設(shè) P（x，y），又F（2，0），由$|{{P}Q}|=\sqrt{2}|{{P}F}|$，得2（x-2）²+2y²=（x-3）²+y²，即x²+y²-2x-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-2x-1=0\\ \frac{x^2}{5}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化為：2x²-5x=0，解得x=0，x=$\frac{5}{2}$（舍去）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
交點(diǎn)為（0，±1）．
因此滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．