【題目】如圖,在四棱錐中,PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BC∥AD,.
(Ⅰ)求證:CD⊥PD;
(Ⅱ)求證:BD⊥平面PAB;
(Ⅲ)在棱PD上是否存在點(diǎn)M,使CM∥平面PAB,若存在,確定點(diǎn)M的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)在棱PD上存在點(diǎn)M,使CM∥平面PAB,且M是PD的中點(diǎn).
【解析】
(Ⅰ)由題意可得CD⊥平面PAD,從而易得CD⊥PD;
(Ⅱ)要證BD⊥平面PAB,關(guān)鍵是證明;
(Ⅲ)在棱PD上存在點(diǎn)M,使CM∥平面PAB,且M是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,平面ABCD
所以CD⊥PA.
因?yàn)?/span>CD⊥AD,,
所以CD⊥平面PAD.
因?yàn)?/span>平面PAD,
所以CD⊥PD.
(II)因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,平面ABCD
所以BD⊥PA.
在直角梯形ABCD中,,
由題意可得,
所以,
所以.
因?yàn)?/span>,
所以平面PAB.
(Ⅲ)解:在棱PD上存在點(diǎn)M,使CM∥平面PAB,且M是PD的中點(diǎn).
證明:取PA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,
因?yàn)?/span>M是PD的中點(diǎn),所以.
因?yàn)?/span>,所以.
所以MNBC是平行四邊形,
所以CM∥BN.
因?yàn)?/span>平面PAB, 平面PAB.
所以平面PAB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex﹣a(lnx+x).
(1)若函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(2)若對(duì)任意x>0,恒有不等式f(x)≥1成立. ①求實(shí)數(shù)a的值;
②證明:x2ex>(x+2)lnx+2sinx.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程是 (t是參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos(θ+ ).
(1)判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系;
(2)過(guò)直線l上的點(diǎn)作曲線C的切線,求切線長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列命題正確的有_______.(寫出所有正確命題的編號(hào))
①是奇函數(shù);
②在上是單調(diào)遞增函數(shù);
③方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根;
④如果對(duì)任意,都有,那么的最大值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司制造兩種電子設(shè)備:影片播放器和音樂(lè)播放器.在每天生產(chǎn)結(jié)束后,要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),故障的播放器會(huì)被移除進(jìn)行修復(fù). 下表顯示各播放器每天制造的平均數(shù)量以及平均故障率.
商品類型 | 播放器每天平均產(chǎn)量 | 播放器每天平均故障率 |
影片播放器 | 3000 | 4% |
音樂(lè)播放器 | 9000 | 3% |
下面是關(guān)于公司每天生產(chǎn)量的敘述:
①每天生產(chǎn)的播放器有三分之一是影片播放器;
②在任何一批數(shù)量為100的影片播放器中,恰好有4個(gè)會(huì)是故障的;
③如果從每天生產(chǎn)的音樂(lè)播放器中隨機(jī)選取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè),此產(chǎn)品需要進(jìn)行修復(fù)的概率是0.03.
上面敘述正確的是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班制定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方案:星期一和星期日分別解決個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,且從星期二開始,每天所解決問(wèn)題的個(gè)數(shù)與前一天相比,要么“多一個(gè)”要么“持平”要么“少一個(gè)”,則在一周中每天所解決問(wèn)題個(gè)數(shù)的不同方案共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為 ,圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)).
(1)直線l過(guò)M且與圓C相切,求直線l的極坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,m)且斜率為 的直線l'與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|PA||PB|=6,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交截得的弦長(zhǎng)為,求直線的方程;
(3)已知點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),對(duì)于圓上的任意動(dòng)點(diǎn),都有為定值?若存在求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,棱長(zhǎng)為1(單位:)的正方體木塊經(jīng)過(guò)適當(dāng)切割,得到幾何體,已知幾何體由兩個(gè)底面相同的正四棱錐組成,底面平行于正方體的下底面,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則幾何體體積的取值范圍是________(單位:).
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