Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3
（1）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，1]是增函數(shù)且在（1，+∞）上是減函數(shù)，求a的值
（2）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得x=1是二次函數(shù)的對(duì)稱軸即可求a的值
（2）利用參數(shù)分類法即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=0，則函數(shù)f（x）=2x-3在定義域上為增函數(shù)，不滿足條件．
當(dāng)a≠0時(shí)，
如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，1]是增函數(shù)且在（1，+∞）上是減函數(shù)，
則x=1是二次函數(shù)的對(duì)稱軸，
即-

2

2×2a

=-

1

2a

=1，
解得a=-

1

2

．
（2）若a=0，則函數(shù)f（x）=2x-3，由f（x）=0解得x=

3

2

∉[-1，1]，不滿足條件．
若a≠0，∵f（0）=-3，∴x=0不是零點(diǎn)，
由f（x）=0得2ax²+2x-3=0，即2a=

3-2x

x2

=

3

x2

-

2

x

，
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，
則等價(jià)為在區(qū)間[-1，1]上方程2a=

3-2x

x2

=

3

x2

-

2

x

有解，
設(shè)g（x）=

3-2x

x2

=

3

x2

-

2

x

，則g（x）=3（

1

x

-

1

3

）²-

1

3

，
∵-1≤x≤1且x≠0，
∴

1

x

≥1或

1

x

≤-1，
令t=

1

x

，則∴t≥1或t≤-1，
則函數(shù)g（x）=3（

1

x

-

1

3

）²-

1

3

，
等價(jià)為y=3（t-

1

3

）²-

1

3

，
∴當(dāng)t=1設(shè)函數(shù)y=3（t-

1

3

）²-

1

3

確定最小值為1
即2a≥1，解得a≥

1

2

，
即a的取值范圍[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．