Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以棱長(zhǎng)都等于1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，則A₁C的長(zhǎng)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)所有棱長(zhǎng)都等于1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，過(guò)A₁作A₁O⊥平面AC，O為垂足，則O在∠BAD的角平分線，即AC上，從而在三角形ABC中，可求AC長(zhǎng)，然后利用余弦定理求之．

解答： 解：過(guò)A₁作A₁O⊥平面AC，O為垂足．
∵∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，所有棱長(zhǎng)都等于1
∴O在∠BAD的角平分線，即AC上…（3分）
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁
∴cos∠OAA₁=

1

2

×

2

3

=

3

3

…（5分）
連A₁C₁則AA₁C₁C為平行四邊形，∴cos∠AA₁C₁=-

3

3

…..（6分）
在三角形ABC中，AC²=AB²+CB²-2AB•CBcos∠ABC=3…（8分）
∴A1C2=AA12+AC2-2×AA1×AC×

3

3

=1+3-2=2，
∴A₁C=

2

；
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以平行六面體為載體，考查余弦定理，關(guān)鍵是利用條件所以棱長(zhǎng)都等于1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化．