Question

（本小題滿分14分）四棱錐 中，底面是正方形，，垂足為點，，點分別是的中點．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）求四面體的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） ．

【解析】

試題分析：（1）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，只需證明線線平行，利用三角形的中位線可得MO∥PB；

（2）證明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定定理，即可證得；

（3）利用等體積，即，從而可得結論．

試題解析：（1）連接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且

∵點O，M分別是PD，BD的中點

∴MO∥PB，

∵PB平面ACM，MO平面ACM

∴PB∥平面ACM．

（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD

∴PA⊥BD

∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD

又∵

∴BD⊥平面PAC

在△PBD中，點M，N分別是PD，PB的中點，∴MN∥BD

∴MN⊥平面PAC．

（3）∵，，

∴．

考點：線面平行判定；線面垂直判定；等體積法求體積．