Question

20．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}^2}$，則$\overrightarrow{AB}與\overrightarrow{BC}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，得出|$\overrightarrow{CB}$|×cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|①；由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}^2}$，得出|$\overrightarrow{BA}$|×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=|$\overrightarrow{BC}$|②，由①②求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$的夾角，即可得出$\overrightarrow{AB}與\overrightarrow{BC}$的夾角大小．

解答 解：畫出圖形，如圖所示；

△ABC中，$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$=2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{CB}$|×cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
∴|$\overrightarrow{CB}$|×cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|①；
又$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}^2}$，
∴|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=${|\overrightarrow{BC}|}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{BA}$|×cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=|$\overrightarrow{BC}$|②，
由①②得cos²＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{1}{2}$，
且cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞大于0，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CB}$的夾角為$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{AB}與\overrightarrow{BC}$的夾角為π-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查了利用平面向量的線性運算與數(shù)量積運算求夾角的問題，是綜合性題目．