Question

若函數(shù)f（x）=

k-2x

1+k•2x

（k為常數(shù)）在定義域上為奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若k＞0，且對任意的實數(shù)t∈[-3，-2]，不等式f（2t-t²）+f（2t²-m）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）直接由函數(shù)是奇函數(shù)列式求解k的值；
（2）把不等式f（2t-t²）+f（2t²-m）＜0恒成立轉(zhuǎn)化為f（2t-t²）＜f（-2t²+m），借助于函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，構(gòu)造函數(shù)g（t）=t²+2t-m=（t+1）²-1-m，由其在[-3，-2]上滿足g（-2）＞0求得m的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）在定義域上為奇函數(shù)，
∴f(-x)+f(x)=

k-2-x

1+k•2-x

+

k-2x

1+k•2x

=

k•2x-1

2x+k

+

k-2x

1+k•2x

=

(k2-1)(22x+1)

(2x+k)(1+k•2x)

=0
∴k=±1； 
（2）由（1）知，當k=1時，f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
可知f（x）在定義域上為減函數(shù)，
又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式
f（2t-t²）+f（2t²-m）＜0等價于f（2t-t²）＜-f（2t²-m）=f（-2t²+m），
由上式推得2t-t²＞-2t²+m，
即對任意t∈[-3，-2]，有t²+2t-m＞0，記g（t）=t²+2t-m=（t+1）²-1-m，
而g（t）在[-3，-2]上遞減，
∴只需g（-2）＞0，得m＜0．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式，注意數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法的應用，是中檔題．